2

Содержание

Свойства пределов

5.1Пределы и ограниченность

5.1.1Сходящаяся последовательность ограничена

Теорема 1. Пусть последовательность {an} сходится (то есть имеет предел). Тогда она ограничена. Доказательство. Обозначим этот предел за A. Сформулируем все утверждения в кванторах.

У нас есть. limn→∞an=A, в кванторах записывается так:

∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n>N:|an−A|<ε.(5.1)

∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n>N:|an−A|<ε.(5.1)

Мы хотим получить. Последовательность {an} ограничена, то есть

∃C ∀n∈N:|an|≤C.(5.2)

Итак, мы хотим из (5.1) прийти к (5.2).

Начнём как обычно с картинки.

Рис. 5.1: Ограниченность последовательности, имеющей предел.

Хвост последовательности. На картинке видно, что кусок последовательности, начинающийся с номера n=N(ε)+1 («хвост»), явно ограниченный: все элементы живут в коридоре вокруг числа A и не могут от него далеко уходить. Из рисунка получается, что все эти элементы ограничены по модулю числом A+ε (верхняя граница коридора), но это потому, что мы его так нарисовали — если бы A было меньше нуля, картинка оказалась симметричной (относительно горизонтальной оси) и ограничение проходило бы по нижней границе коридора. Чтобы не возиться с разбором разных случаев, мы будем пользоваться свойствами модулей. Однако, прежде, чем мы перейдём к аккуратному построению, нужно решить важный вопрос. Дело в том, что у нас сейчас нет никакого ε. Нам сказано (в (5.1)), что N найдётся для любого ε>0, то есть ε мы можем задавать сами. Но как?

На самом деле, здесь можно выбрать любое значение ε>0. Например, положим ε=1. Пусть N=N(1) — теперь это какое-то зафиксированное число. Тогда для всех n>N,

|an−A|<1.

Итак, мы имеем оценку для |an−A| для хвоста последовательности. А хотим, как следует из (5.2), оценку для |an|. Как её получить? Воспользуемся неравенством треугольника!

Величина |an| — это расстояние от an до нуля. Это расстояние не больше, чем сумма расстояний от an до A и от A до 0:

|an|=|an−0|≤|an−A|+|A−0|=|an−A|+|A|.

|an|=|an−0|≤|an−A|+|A−0|==|an−A|+|A|.

Но мы знаем, что для n>N, |an−A|<1. Следовательно, для тех же n,

|an|<|A|+1.(5.3)

Итак, для хвоста последовательности мы получили искомую оценку. Однако, это ещё не конец доказательства. Вдруг хвост ограниченный, а «голова» (элементы до N включительно) нет?

Начало последовательности. На самом деле, этого не может быть. Дело в том, что элементов от a1 до aN всего конечное число (их ровно N штук). А любое конечное множество обязательно ограниченно, потому что в нём есть максимальный элемент — такой элемент, который не меньше всех остальных. (Аккуратное доказательство этого утверждения — хорошее упражнение. Подсказка: можно сделать индукцию по числу элементов и воспользоваться тем фактом, что среди двух чисел всегда одно не меньше другого.)

Сведём всё воедино. Итак, хвост последовательности можно ограничить числом |A|+1, а начало — максимальным из модулей чисел a1, a2, …, aN. Положим:

C:=max{|a1|,|a2|,…,|aN|,|A|+1}

По построению, C искомое. Действительно, для всех натуральных n, либо n≤N, и тогда |an|≤C по определению максимума, либо n>N, и тогда |an|<|A|+1≤C по (5.3).∎

5.1.2Бесконечные пределы

Итак, мы выяснили, что все сходящиеся последовательности ограничены. Однако, оказывается полезным выделить среди неограниченных последовательностей такие, чьё поведение похоже на поведение последовательностей, которые куда-то стремятся — только не к какому-то числу, а «к бесконечности». Аккуратный смысл этого выражения даётся следующими определениями. Определение 1. Последовательность {an}
стремится к бесконечности
, если для всякого числа C∈R найдётся такое натуральное N=N(C), что для всех n>N выполняется неравенство |an|>C. В кванторах:

∀C∈R ∃N=N(C) ∀n>N:|an|>C.

Пишут:

limn→∞an=∞

или

an→∞ при n→∞.

Рис. 5.2: Последовательность стремится к бесконечности. Определение 2. Последовательность {an} стремится к плюс бесконечности, если для всякого числа C∈R найдётся такое натуральное N=N(C), что для всех n>N выполняется неравенство an>C. В кванторах:

∀C∈R ∃N=N(C) ∀n>N:an>C.

Пишут:

limn→∞an=+∞

или

an→+∞ при n→∞.

Определение 3. Последовательность {an} стремится к минус бесконечности, если для всякого числа C∈R найдётся такое натуральное N=N(C), что для всех n>N выполняется неравенство an<C. В кванторах:

∀C∈R ∃N=N(C) ∀n>N:an<C.

Пишут:

limn→∞an=−∞

или

an→−∞ при n→∞.

Упражнение 1. Докажите следующие утверждения, используя приведенные выше определения.
  1. Последовательность {an}, an=n, стремится к бесконечности, а также к плюс бесконечности.
  2. Последовательность {(−1)nn} стремится к бесконечности, но ни к плюс бесконечности, ни к минус бесконечности не стремится.
  3. Последовательность {n+(−1)nn} не стремится ни к какой бесконечности, хоть и является неограниченной.

5.2Арифметика пределов

Пусть есть две последовательности, {an} и {bn}. Над ними можно проводить арифметические операции: складывать, вычитать, умножать, делить. Операции над последовательностями проводятся поэлементно. Например, пусть последовательность {cn} является суммой последовательностей {an} и {bn}. Можно записать:

{cn}={an}+{bn},

что будет означать

∀n∈N:cn=an+bn.

Серия утверждений, которые мы докажем в этом разделе, говорит о том, как операция перехода к пределу взаимодействует с арифметическими операциями.

5.2.1Предел суммы

Теорема 2. Пусть даны две последовательности, {an} и {bn} и существуют пределы limn→∞an=A,limn→∞bn=B.(5.4)(5.5) Тогда предел последовательности {an+bn} тоже существует и равен A+B:

limn→∞(an+bn)=A+B.

Попросту говоря, «предел суммы равен сумме пределов».

Заметим, что A и B здесь — обязательно обычные вещественные числа, поскольку требуется, чтобы пределы существовали (см. замечание 2).

Доказательство. Перепишем формально, что нам дано, и что требуется доказать.

Нам дано.

∀ε1>0 ∃N1=N1(ε1) ∀n>N1:|an−A|<ε1.∀ε2>0 ∃N2=N2(ε2) ∀n>N2:|bn−B|<ε2.(5.6)(5.7)

∀ε1>0 ∃N1=N1(ε1) ∀n>N1:|an−A|<ε1.∀ε2>0 ∃N2=N2(ε2) ∀n>N2:|bn−B|<ε2.(5.6)(5.7)

Мы хотим доказать.

∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n>N:|(an+bn)−(A+B)|<ε.(5.8)

∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n>N:|(an+bn)−(A+B)|<ε.(5.8)

Утверждения (5.6) и (5.7) можно понимать так: мы можем добиться того, чтобы an был близок к A, а bn был близок к B, накладывая подходящие условия на n. Утверждение (5.8), которое мы хотим доказать, звучит так: мы хотим научиться накладывать такие условия на n, чтобы сделать (an+bn) близким к (A+B). Выглядит логично: если an близко к A, а bn близко к B, то логично ожидать, что (an+bn) окажется близко к (A+B). Осталось доказать!

Начнём с преобразования левой части неравенства в конце (5.8):

|(an+bn)−(A+B)|=|(an−A)+(bn−B)|.

|(an+bn)−(A+B)|==|(an−A)+(bn−B)|.

Это тождественное преобразование (раскрыли скобки и перегруппировали слагаемые), но оно позволяет выделить в формуле те разности, которые мы умеем оценивать: (an−A) и (bn−B). Вернее, мы умеем оценивать их модули, поэтому нам понадобится одно из свойств модулей: модуль суммы не превосходит суммы модулей:

|(an−A)+(bn−B)|≤|an−A|+|bn−B|.(5.9)

|(an−A)+(bn−B)|≤≤|an−A|+|bn−B|.(5.9)

Теперь заметим, что первое слагаемое мы можем сделать меньшим, чем ε1, а второе — меньшим, чем ε2. Но как выбрать ε1 и ε2? Мы хотим в конечном итоге прийти к неравенству, в правой части которого будет ε. Значит, можно выбрать ε1 и ε2 так, чтобы их сумма равнялась ε. Положим:

ε1=ε2,ε2=ε2.

Теперь мы можем подставить эти ε1 и ε2 в утверждения (5.6) и (5.7). Каждое из них выдаст нам в ответ своё N (вернее, N1 и N2) — номера членов, после которых выполняется соответствующая оценка для |an−A| и |bn−B|. Мы хотим, чтобы они выполнялись обе. Как обычно, это означает, что из получившихся значений нужно выбрать максимальное.

Итак, мы готовы сформулировать железобетонное доказательство. Для любого ε>0 положим ε1=ε/2 и ε2=ε/2. Из (5.6) и (5.7) получим такие N1=N1(ε1)=N1(ε/2) и N2=N2(ε2)=N2(ε/2), что для всех n>N1

|an−A|<ε1=ε2,(5.10)

и для всех n>N2

|bn−B|<ε2=ε2.(5.11)

Положим теперь:

N(ε):=max(N1(ε2),N2(ε2)).

Тогда для всех n>N(ε), будет выполнятья n>N1 и n>N2, и значит будут выполняться обе оценки (5.10) и (5.11).

Значит, согласно (5.9), для всех таких n, будет также выполняться оценка

|(an+bn)−(A+B)|≤|An−A|+|Bn−B|<ε2+ε2=ε.

|(an+bn)−(A+B)|≤≤|An−A|+|Bn−B|<<ε2+ε2=ε.

Таким образом, (5.8) доказано: мы научились по каждому положительному ε строить такое N, что для всех n>N выполнено неравенство |(an+bn)−(A+B)|<ε.

Ура!∎

5.2.2Упрощающая лемма

Давайте посмотрим ещё раз на доказательство теоремы 2. Нам пришлось довольно хитрым образом выбирать ε1 и ε2 по ε, чтобы в итоге получилось нужное неравенство. Этот момент выглядит немножко неестественным. Что было бы, если бы мы просто положили ε1=ε и ε2=ε? Тогда в конечном итоге было бы доказано такое утверждение:

∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n>N:|an−A|<2ε.

Это утверждение не является определением предела. Тем не менее, понятно, что оно эквивалентно определению предела: выбирать произвольное положительное значение ε и выбирать произвольное положительное значение 2ε — это одно и то же!

Следующая лемма, которой мы будем в дальнейшем пользоваться, формализует это соображение.

Лемма 1. Пусть нашлась такая константа C, что для всякого ε1>0 найдётся такое N1=N1(ε1) что для всякого n>N1 выполняется неравенство |an−A|<Cε. Тогда limn→∞an=A.

Формально: пусть

∃C ∀ε1>0 ∃N1=N1(ε1) ∀n>N1:|an−A|<Cε1.

∃C ∀ε1>0 ∃N1=N1(ε1) ∀n>N1:|an−A|<Cε1.

тогда

limn→∞an=A.(5.12)

Иными словами, если при доказательстве утверждения (5.12) получилось доказать «испорченное» определение предела, где в правой части последнего неравенства вместо ε стоит 10ε или 15ε или какое-нибудь (M+1)2ε — ничего страшного, это всё равно победа. Главное, чтобы константа, стоящая перед ε, не зависела от n.

Доказательство. Во-первых, заметим, что C обязательно больше нуля. Действительно, модуль всегда неотрицателен, поэтому неравенство |an−A|<Cε1 может выполняться лишь при условии, что в правой части стоит положительное число, а ε1>0, значит C>0.

Перепишем условие (5.12) формально. Оно выглядит так:

∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n>N:|an−A|<ε.

Чтобы по ε найти N, возьмём ε1=εC (имеем право так написать, потому что C>0, и значит деление допустимо и не поменяет знак) и положим N=N1(ε1)=N1(ε/C). Тогда для всех n>N выполняется неравенство:

|an−A|<Cε1=CεC=ε.

Что и требовалось получить. Лемма доказана.∎

Теперь при доказательстве теорем, аналогичных теореме 2, мы не будем подбирать хитрым образом вспомогательные ε, а вместо этого просто будем считать ε1=ε2=ε и дальше воспользуемся только что доказанной леммой. Начнём с теоремы о пределе произведения.

5.2.3Предел произведения

Теорема 3. Пусть даны две последовательности, {an} и {bn} и существуют пределы limn→∞an=A,limn→∞bn=B.(5.13)(5.14) Тогда предел последовательности {anbn} тоже существует и равен AB:

limn→∞anbn=AB.

Попросту говоря, «предел произведения равен произведению пределов». Доказательство. Как обычно, запишем, что нам известно, и что нужно доказать.

Нам дано. Равенства (5.13) и (5.14) записываются в виде:

∀ε1>0 ∃N1=N1(ε1) ∀n>N1:|an−A|<ε1.∀ε2>0 ∃N2=N2(ε2) ∀n>N2:|bn−B|<ε2.(5.15)(5.16)

∀ε1>0 ∃N1=N1(ε1) ∀n>N1:|an−A|<ε1.∀ε2>0 ∃N2=N2(ε2) ∀n>N2:|bn−B|<ε2.(5.15)(5.16)

Мы хотим доказать. Равенство (5.17):

∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n>N:|anbn−AB|<ε.(5.17)

∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n>N:|anbn−AB|<ε.(5.17)

Преобразуем левую часть последнего неравенства в (5.17). Для этого воспользуемся картинкой (см. рис. 5.5).

Геометрический смысл произведения — площадь прямоугольника с заданными сторонами. Построим прямоугольник со сторонами an и bn. Давайте для определенности считать, что A<an и B<bn (это предположение полезно для иллюстрации, но нас оно не будет ограничивать: простое алгебраическое доказательство нужной нам формулы его не требует). Тогда прямоугольник со сторонами A и B будет меньше первого прямоугольника и его можно разместить внутри, прижав к левому нижнему углу.

Выражение (anbn−AB) — разность площадей двух прямоугольников, которая выглядит как уголок. Можно разбить этот уголок на два прямоугольника, один со сторонами (an−A) и B, а другой со сторонами an и (bn−B). Имеем:

|anbn−AB|=|(an−A)B+an(bn−B)|.(5.18)

|anbn−AB|==|(an−A)B+an(bn−B)|.(5.18)

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, легко проверить, что это алгебраическое тождество. (Как правило переход слева направо в этом тождестве делается с помощью приёма «добавим и вычтем anB», что выглядит как фокус — нарисовав картинку мы раскрыли секрет этого фокуса.)

Воспользуемся теперь свойствами модулей: модуль суммы не превосходит суммы модулей, модуль произведения равен произведению модулей. Получаем такую оценку:

|(an−A)B+an(bn−B)|≤|an−A|⋅|B|+|an|⋅|bn−B|(5.19)

|(an−A)B+an(bn−B)|≤≤|an−A|⋅|B|++|an|⋅|bn−B|(5.19)

Заметим, что сомножители |an−A| и |bn−B| мы умеем делать маленькими благодаря известным нам пределам. А именно, положим ε1=ε2=ε и пусть N=max(N1(ε),N2(ε)). Тогда для всех n>N:

|an−A|<ε,|bn−B|<ε.

Разберемся теперь с остальными сомножителями (см. рис. 5.6).

Во-первых, |B|. С ним ничего делать не надо: это просто число, которое не зависит от n.

Далее, |an|. С этой штукой не так просто: она от n зависит. Однако, мы помним, что последовательность, имеющая предел, ограничена. А последовательность {an} имеет предел по условию. Значит, найдётся такое C1, что для всех n, |an|<C1.

Все сомножители неотрицательны, и значит можно оценить каждый из сомножителей, оценить их произведение, а потом оценить сумму. Имеем:

|an−A|⋅|B|+|an|⋅|bn−B|<|B|ε+C1ε=(|B|+C1)ε.(5.20)

|an−A|⋅|B|++|an|⋅|bn−B|<<|B|ε+C1ε=(|B|+C1)ε.(5.20)

Соединяя (5.18), (5.19) и (5.20) в одну длинную цепочку неравенств, получаем неавенство, верное для всех n>N:

|anbn−AB|<(|B|+C1)ε.

Положим теперь C=|B|+C1 и по лемме 1 искомое утверждение доказано.∎

5.3Заключение

Мы продолжаем строить теорию пределов и в этой лекции определили новое понятие — бесконечные пределы, причём аж трёх видов (к счастью, очень похожих друг на друга). Мы также доказали ряд важных общих свойств конечных пределов. Во-первых, сходящаяся (к конечному числу) последовательность ограничена. Во-вторых, предел суммы равен сумме пределов, а предел произведения — произведению пределов (но только если все эти пределы существуют, то есть, опять же, конечны). Наконец, мы доказали очень полезную лемму, которой будем пользоваться в дальнейшем. В следующей лекции мы разберемся с пределом частного — с ним будет всё похитрее. Не переключайтесь!
← Предыдущая глава Следующая глава →

15 тысяч фанатов «Валенсии» вышли против владельца. Питер Лим достал вообще всех! — Вы это видели? — Блоги

Но он не сдается.

Фанаты «Валенсии» продолжают войну со скандальным владельцем Питером Лимом. В этот раз болельщики собрались и организовали один из самых крупных фанатских протестов за последние годы: против ненавистного азиатского президента вышло около 15 тысяч человек.

Итоги шести лет правления Лима неутешительны: «Валенсия» из третьей силы испанского футбола окончательно превратилась в крепкого середняка. Но такая сильная нелюбовь связана не только с общим игровым спадом – Питер наворотил много дел и внутри клуба.

• «Валенсия» никак не может найти деньги на новый стадион: из-за кризиса строительство «Нуэво Месталья» снова откладывается. Лим в течение двух месяцев должен предоставить властям гарантии окончания строительства – иначе стадион и прилегающая территория перейдут во владение чиновников.

• Лим почти не тратится на новых игроков: за два года купили только нападающего Маркоса Андре из «Вальядолида» за 8,5 млн евро. Но и эффективно продавать «Валенсия» тоже не может: летом 2020-го талантливого Феррана Торреса отпустили в Манчестер всего за 30 миллионов, хотя зимой не согласились на почти 50-миллионое предложение от «Дортмунда».

• Питера обвиняют в особенно близком сотрудничестве с агентом Жорже Мендешем: в 2014-м тот даже пробил место для тренера Нуну Эшпириту Санту. Сейчас в «Валенсии» лишь три клиента Мендеша: вингеры Гонсалу Гедеш и Элдер Кошта, а также защитник Тьерри Коррейя. В мае агент пытался выбить из Лима жирный контракт для Жозе Моуринью, но Питер решил не вкладываться настолько сильно – и пригласил тренера «Хетафе» Пепе Бордаласа.

• «Валенсия» все больше теряет связь с болельщиками: дочь президента просит фанатов заткнуться и не мешать, а легенды вроде Мендьеты и Канисареса критикуют руководство настолько открыто, что нет сомнений – в «Валенсии» союзников Лима просто не осталось.

Несмотря на это Питер не собирается покидать пост и продавать клуб: недавно отказал принцу из Малайзии. Зато через несколько недель появилось фото радостного Лима вместе с Криштиану Роналду – они вместе финансируют новую медиаплатформу ZujuGP для азиатской аудитории.

Фанов «Валенсии» такие новости совсем не радуют – пора бы исправить проблемы в клубе.

Канисарес тоже на месте.

Засветились даже фанаты других клубов. Например, «Эльче».

Символом протеста стал маленький фанат – он тоже хочет новых побед!

В июне болельщики даже сожгли фото Лима на небоскребе. Как после этого можно не уйти?

Питер не сдается – а его с каждым днем ненавидят все сильнее и сильнее.

Протест получился таким масштабным, что продолжился прямо на стадионе: на 19-й минуте игры с «Эльче» (2:1) болельщики хозяев вместе достали желтые листовки с лозунгом: «Питер, вали домой». Такое происходит почти на каждом домашнем матче – но в этот раз вышло впечатляюще.

Все фанаты объединились против общего врага.

Min. 19 #Mestalla pic.twitter.com/4cZSsGFGaP

— Roberto Martin-Macho (@RMartinMacho) 11 декабря 2021 г.

Сейчас вся надежда Лима – на соглашение Ла Лиги с люксембургским фондом CVC: с его помощью «Валенсия» должна получить примерно 80 миллионов евро. Почти все эти средства хотят вложить в новый стадион – но на него надо набрать почти 120.

Но фанаты «Валенсии» знают: с Питером Лимом можно ждать чего угодно.

Фото: East News/JOSE JORDAN / AFP; twitter.com/noaasoka/plazadeportiva; instagram.com/noaasoka; marca.com; twitter.com/viachers; Gettyimages.ru/Aitor Alcalde, Marc Atkins

Как быть счастливым на работе — советы СЕО Zappos

Дженн Лим, CEO консалтинговой компании Delivering Happiness, консультант Zappos.com, бизнес-партнер гендиректора Zappos.сom Тони Шея, рассказала про счастье как бизнес-модель. Вместе Шей и Лим написали книгу «Доставляя счастье» о том, как создавалась и развивалась компания Zappos с корпоративной культурой, примеру которой следуют многие.

Справка

Интернет-магазин одежды и обуви Zappos.com появился в 1999 году, пережил множество трудностей и стал одним и самых крупных в США. К настоящему моменту компания вошла в список 100 лучших работодателей по версии Fortune, в 2009 году ее купил Amazon.com за 1,2 миллиарда долларов. Правила жизни Zappos описаны в книге, которая вышла в 2010 году и стала очень популярной по всему миру, несмотря на то, что Zappos доставляет товары только в США и Канаде.

На прошлой неделе в московском концертом зале «Барвиха Luxury Village» состоялось мероприятие на бизнес-мероприятии People Management ReForum «Winning The Hearts» («Выигрывая сердца»). Среди прочих экспертов в сфере корпоративной культуры в Россию впервые приехала и гендиректор DeliveringHappinessДженнЛим — рассказать про счастье как бизнес-стратегию.

Чтобы объяснить, что такое счастье, Лим привела довольно мрачный пример. «Представьте, что вас хоронят, — сказала она со сцены многочисленной публике People Management ReForum Russia. — И что же, вы хотите, чтобы после вашей смерти вспоминали о том, как вы круто и быстро отвечали на электронную почту? Я думаю, что у вас более амбициозные цели».

Как создавалась книга: кофе, водка и домик в лесу

«Для нас был момент откровения, когда мы поняли, что иерархия счастья похожа на иерархию в бизнесе, — рассказала Лим. — Если нет великого стремления ни в жизни, ни в бизнесе, нет гарантии, что это удовольствие продлится долго».

После этого озарения Дженн Лим и Тони Шей решили написать книгу, чтобы разложить по полочкам все свои открытия и поделиться опытом хорошей корпоративной культуры своей компании. Чтобы скрыться от городской суеты, топ-менеджеры решили уехать творить за город. «Три недели мы сидели в лесном домике, пили много кофе, пробовали пить водку. Не помогло. Решили бросать в водку кофейные зерна. Первый вечер было все ОК, а потом — с водкой и кофейными зернами — не очень», — поделилась Дженн Лим.

После того, как книга была написана, авторов охватила гордость. После публикации посыпались отзывы. “Мы получили письмо от женщины-домохозяйки, которая после прочтения нашей книжки решила, что в своей семье она будет занимать должность “Управляющий директор по детям”. И после этого она стала счастливей. А нас это вдохновило”, — рассказала Лим.

После книги

«Мы придумали “автобус счастья”, на котором проехали по Америке, посетив 23 города. Мы рассказывали и слушали истории. И до сих пор получаем письма о том, как люди меняют свою жизнь. Мы участвуем в проектах возрождения депрессивных районов, чтобы целые города становились счастливее, — рассказала Дженн.  — Теперь мы помогаем компаниям делать сотрудников счастливыми. Хочется охватить целые компании, сообщества, города. Книжка вышла на 21 языке. С момента выхода нашей книжки уже пришли письма 3100 городов, 100 стран».

Корпоративное счастье по пунктам

Из выступления ДженнЛим можно выделить несколько принципов счастливой работы в Zappos.com. Потенциального соискателя должности в Zappos тестируют еще до собеседования. Например, отправляют водителя встречать иногороднего соискателя в аэропорт или на вокзал. Затем водитель должен рассказать руководтсву, не вел ли себя возможный сотрудник равнодушно или высокомерно. Особенно дело касается претендентов на должности топ-менеджеров.

Впрочем, если соискателя взяли на работу, это еще не значит, что проверка его закончилась. После похождения обучения и испытательного срока сотруднику Zappos предлагают 4 тысячи долларов за увольнение прямо сейчас. “Такой способ позволяет вполне успешно сразу же, на первом этапе, исключить людей, которые в будущем вряд ли станут нашими единомышленниками”, — сказала Лим. По ее словам, взять деньги и уйти решают единицы.

Правила компании Zappos укладываются в 10 пунктов. Чтобы хорошо работать в Zappos и быть при этом счастливым, сотрудникам нужно:

1. Удивлять клиентов уровнем сервиса.

По словам Лим, в колл-центре компании каждый сотрудник должен быть готов к тому, что позвонивший может не быть клиентом компании. Однажды гендиктор Zappos Тони Шей анонимно позвонил в колл-центр и нетрезвым голосом попросил адрес доставки пиццы. И ему помогли.

2. Принимать и создавать изменения.

3. Веселиться и немного чудачить.

4. Быть предприимчивым, креативным и открытым.

5. Стремиться расти и учиться.

6. Строить открытые и честные отношения через коммуникацию.

7. Создавать позитивную командную и семейную атмосферу.

Тут снова кроется хитрость: при включении рабочего компьютера сотруднику Zappos нужно не только вписать логин и пароль, но и вспомнить имя коллеги, чья фотография выводится на монитор.
8. Делать больше, располагая меньшим.

9. Быть страстным и целеустремленным.

10. Быть скромным.

«Нужно не просто обеспечивать физическое нахождение сотрудников на работе, нужно сделать так, чтобы они всей душой стремились сделать работу лучше, — считает Лим. — От этого появляется креатив, стремление, повышаются продажи, и, понятное дело, рентабельность компании».

«Каждые полгода нужно делать каждому сотруднику отчет, в котором рассказывать, чего добился человек, чему он научился, — посоветовала Лим. — Кстати, это не сопровождается повышением зарплаты. Просто людям приятна похвала и внимание».

Еще одна необычная традиция компании- книга, в которую может написать что-нибудь любой сотрудник — “Zappos Culture Book”. Благодаря этой книге руководство получает срез корпоративной культуры — достижения и зоны развития. Дополнить эту книгу может любой сотрудник. В книге запрещена любая редактура, за исключением опечаток и грамматических ошибок.

Категории счастья

Есть несколько условий, чтобы быть счастливым. По теории Дженн Лим, человеку нужно чувствовать, что от него что-то зависит. Это ощущение может быть ложным, но оно должно быть. Важно знать, что вы чего-то добиваетесь. Надо чувствовать, что вы становитесь круче, опытнее. Для счастья нужно делать шаги, пусть даже маленькие. Важно знать, что рядом люди, которые вам помогают.

По теории ДженнЛим, есть три вида счастья:

1. За счет удовольствий.
«За этим гоняются рок-звезды. Купить дорогую тачку, например».

2. За счет энтузиазма.
«Ощущение потока. Когда вы увлечены своим делом, время течет незаметно. Это особенно верно, если вас окружают люди, которые живут вашими интересами».

3. За счет будущей большой цели.
«Чувство что ты существуешь не для того, чтобы небо коптить, а для того, чтоб сделать что-то великое. У всех разные призвания, мы все уникальные и никто кроме нас не может наполнить нашу жизнь смыслом».

«Представьте, каким был бы наш мир, если бы мы были верны самим себе, жили в соответствии своим целям и приоритетам? — спросила Дженн Лим на прощание. — Жизнь была бы совсем другой». 

Что такое предел в исчислении? Лимит — это просто…

Запомнить

Обе части расчета основаны на ограничениях!

Предел функции — это значение, к которому $$f(x)$$ приближается по мере того, как $$x$$ приближается к некоторому числу.

Примеры

Пример 1

Давайте посмотрим на график $$f(x) = \frac 4 3 x -4$$ и исследуем точки, в которых $$x$$ «близок» к $$x = 6$$.Мы начнем с точек, где $$x$$ меньше 6.

Обратите внимание, что по мере того, как значения $$x$$ приближаются к 6, значения функции приближаются к $$y = 4$$. Теперь давайте посмотрим на точки функции, где $$x$$ больше 6.

Таблица нанесенных точек

$$ \начать{массив}{л|с} х & f(x)\\\hline \hline 7 и 5.33333\\\hline 6,5 и 4,66667\\\hлиния 6,25 и 4,33333\\\hлиния 6.1 и 4.13333\\\hлиния 6.01 и 4.01333\\\hлиния \конец{массив} $$

Как и раньше, чем ближе мы подходили к $$x = 6$$, тем ближе подходила функция к $$y = 4$$.

Конечно, поскольку $$f(6) = 4$$, это может показаться неудивительным. Тем не менее, это идея предела, и ее можно резюмировать следующим образом:

Когда $$x$$ приближается к определенному числу, к чему приближается функция?

Предельное обозначение

У математиков есть специальные обозначения, указывающие на то, что они работают с предельными значениями.Например, ответ на Пример 1 будет записан так:

Пример 2

Предположим, что $$f(x) = \frac{\sin x}{x }$$. Что такое $$\displaystyle \lim_{x\to0} f(x)=$$?

Заманчиво просто подставить $$x$$ = 0, чтобы попытаться получить ответ, но если мы попробуем

$$f(0) = \frac{\sin 0} {\color{red}{0}} \mbox{не определено! (Деление на ноль)}$$

Несмотря на то, что функция не определена, когда $$x$$ = 0, мы все равно можем ответить на вопрос. вопрос с использованием лимита.

Следующие две таблицы помогут нам понять, что происходит вблизи $$x$$ = 0.

При приближении $$x$$ к 0…

$$ \начать{массив}{л|с} х & f(x)\\\hline \hline -1 & 0,84143\\\hлиния -0.5 и 0,9588\\\hлиния -0,1 и 0,99808\\\hлиния -0,01 и 0,99945\\\hлиния -0,001 и 0,9999998\\\hлиния \конец{массив} $$

$$f(x)$$ приближается к 1.

ИЛИ

По мере приближения $$x$$ к 0…

$$ \начать{массив}{л|с} х & f(x)\\\hline \hline 1 & 0,84143\\\hлиния 0,5 и 0,9588\\\hлиния 0,1 и 0,99808\\\hлиния 0,01 и 0,99945\\\hлиния 0,001 и 0,9999998\\\hлиния \конец{массив} $$

$$f(x)$$ приближается к 1.

В обеих таблицах чем ближе x приближается к 0, тем ближе функция приближается к 1. Теперь давайте взглянем на график функции, просто для визуальной проверки.

Как и в таблицах, график показывает, что по мере приближения к $$x$$ = 0, Значение $$y$$ приближается к 1 !

Или, если использовать математические обозначения:

$$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x} x = 1$$.

Важно

$$\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\sin x} x = 1$$ НЕ говорит $$f(x) = 1$$, когда $$x=0$$ $$\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\sin x} x = 1$$ говорит, что $$f(x)$$ получает $$\textit{close}$$ до 1, если $$x$ $ приближается к 0 .

Проблема с нашей точностью

Давайте еще раз взглянем на эти таблицы из второго примера.

По мере приближения $$x$$ к 0…

$$ \начать{массив}{л|с} х & f(x)\\\hline \hline -1 & 0,84143\\\hлиния -0,5 и 0,9588\\\hлиния -0,1 и 0,99808\\\hлиния -0,01 и 0,99945\\\hлиния -0,001 и 0,9999998\\\hлиния \конец{массив} $$

$$f(x)$$ приближается к 1.

ИЛИ

При приближении $$x$$ к 0…

$$ \начать{массив}{л|с} х & f(x)\\\hline \hline 1 & 0,84143\\\hлиния 0.5 и 0,9588\\\hлиния 0,1 и 0,99808\\\hлиния 0,01 и 0,99945\\\hлиния 0,001 и 0,9999998\\\hлиния \конец{массив} $$

$$f(x)$$ приближается к 1.

Во втором примере мы сказали, что $$f(x)$$ приближается к 1.Но разве они не приближаются к 0,9999999? Так что же верно?

$$ \displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\sin x} x = 1? $$

ИЛИ

$$ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x} x = 0.9999999? $$

Это проблема с использованием таблиц значений (такая же проблема с графиками). Они недостаточно точны, чтобы получить точный ответ!

Существуют способы точного определения предельных значений, но эти методы рассматриваются в последующих уроках. На данный момент важно помнить, что при использовании таблиц или графиков лучшее, что мы можем сделать, — это оценить.

Следовательно, по таблицам и графики, ответы на два примера выше должны быть

Пример 1: $$\displaystyle \lim_{x\to6} \left(\frac 4 3 x — 4\right) \приблизительно 4$$

и

Пример 2: $$\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\sin x} x \приблизительно 1$$

Ошибка: Нажмите «Не робот», затем повторите попытку загрузки.

Что такое земельный информационный меморандум (LIM)?

He aha kē tēnei mea te ‘Меморандум о земельной информации (LIM)?

Содержимое страницы

Отчет LIM представляет собой сводку информации, которую мы храним о собственности.

Может включать информацию о:

  • потенциальной эрозии, оседании или оползании, затоплении любого типа и возможном наличии опасных веществ
  • частных и общественных ливневых и канализационных стоках
  • тарифах, включая любые просроченные тарифы
  • строительстве, водопроводе/ согласования дренажа и планирования ресурсов (включая уведомление, приказ или реквизицию, затрагивающие землю или любое здание)
  • особые условия, включая списки NZ Historic Places Trust
  • любая информация, которая была сообщена совету любой официальной организацией в отношении любого другого акт
  • сетевой утилиты в связи с Законом о строительстве 1991 или 2004.

Для получения дополнительной информации см. Как заказать информационный меморандум о земле (LIM).

 

Похожие темы

Похоже, в вашем браузере отключен JavaScript. Пожалуйста, включите JavaScript и повторите попытку.

Похоже, в вашем браузере отключен JavaScript. Пожалуйста, включите JavaScript и повторите попытку.

Полезна ли информация на этой странице?

Да Нет

Чтобы обратиться за помощью или сообщить о проблеме с нашими услугами или объектами, свяжитесь с нами.

Расскажите нам, как мы можем улучшить информацию на этой странице. (необязательный)

Предел «бесконечности» — подход к исчислению

4

Определение «становится бесконечным»

Пределы рациональных функций

Изменение переменной

БЕСКОНЕЧНОСТЬ вместе со своим символом ∞ не является числом и не местом.Когда в исчислении мы говорим, что функция становится «бесконечной», мы просто имеем в виду, что нет предела ее значениям.

Пусть f ( x ), например, будет . Затем, когда значения x становятся все меньше и меньше, значения f ( x ) становятся все больше и больше. Независимо от того, какое большое число мы назовем, можно будет назвать значение x таким образом, что значение f ( x ) будет больше, чем это число, которое мы назвали.

Тогда мы говорим, что значения f ( x ) становятся бесконечными или стремятся к бесконечности. Мы говорим, что когда x приближается к 0, предел f ( x ) равен бесконечности.

Теперь предел — это число — граница. Поэтому, когда мы говорим, что предел бесконечен, мы имеем в виду, что нет числа , которое мы можем назвать.

Учащийся должен знать, что слово бесконечный в том виде, в каком оно используется в исчислении и использовалось исторически, не имеет того же значения, что и в теории бесконечных множеств.См. это из Википедии, особенно взгляды Карла Фридриха Гаусса в разделе «Прием аргументации».

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. становится бесконечным. Мы говорим, что переменная «становится бесконечной» или «стремится к бесконечности», если, начиная с определенного члена в последовательности ее значений, абсолютное значение этого члена и любого последующего термина, который мы называем, больше, чем любое положительное число, которое мы называем , однако большой.

 

Когда переменная равна x и принимает только положительные значения, тогда x становится положительно бесконечным.Мы пишем

Если x принимает только отрицательные значения, оно становится отрицательно бесконечным, и в этом случае мы пишем

В обоих случаях мы имеем в виду:  Независимо от того, какое большое число M мы назовем, мы достигнем точки в последовательности значений x , когда их абсолютные значения станут больше, чем M.

Когда переменная представляет собой функцию f ( x ), и она становится положительно или отрицательно бесконечной, когда x приближается к значению c , тогда мы пишем

Хотя мы пишем символ «lim» для обозначения предела, эти алгебраические утверждения означают:  Предел f ( x ), поскольку x приближается к c , не существует.Опять же, предел — это число. (Определение 2.1.)

Определение 4 — это определение «становится бесконечным»; это не определение предела.

Что касается символа ∞, мы используем его в алгебраических утверждениях, чтобы показать, что определение  становится бесконечным выполнено. Этот символ сам по себе не имеет значения.

В качестве примера, вот график функции   г  =   1
х
 :

Давайте посмотрим, что происходит со значениями и , когда x приближается к 0 справа:

Поскольку последовательность значений x становится очень маленькой, то последовательность значений y , обратных величин, становится очень большой.Значения y станут и останутся больше, например, чем 10 100000000 . y  становится бесконечным.

Пишем:

Если x приближается к 0 слева, то значения становятся большими отрицательными числами. В этом случае мы пишем

Когда функция становится бесконечной по мере того, как x приближается к значению c , тогда функция становится прерывистой при x = c , а прямая линия x = c является вертикальной асимптотой графика.(Тема 18 Предварительного исчисления.)  График 90 164 y 90 165 = , таким образом, разрывен при 90 164 x 90 165  = 0, а прямая линия 90 164 x 90 165 = 90 164 c 90 165 является вертикальной асимптотой.

Далее рассмотрим случай, когда x становится бесконечным, то есть когда его значения становятся большими положительными числами справа от 0.

В этом случае становится очень маленьким числом, а именно 0. Мы пишем

Мы должны читать это как «предел, когда х становится бесконечным», а не как « х приближается к бесконечности», потому что, опять же, бесконечность не является ни числом, ни местом.С другой стороны, мы могли бы читать это, как нам заблагорассудится («предел x вызывает головокружение»), если любое выражение, которое мы используем, относится к условию Определения 4.

См. Первые принципы элементов Евклида, Комментарий к определениям. В частности, обратите внимание, что определение номинальное ; он утверждает только то, как будет использоваться слово или имя; и мы должны согласиться с этим.

Наконец, когда x становится бесконечным отрицательно, то есть когда оно принимает значения крайне слева от 0 (-∞), тогда снова приближается к 0.Пишем

Другими словами, всякий раз, когда x становится бесконечным положительно или отрицательно, значения   y = приближаются к горизонтальной линии   y = 0. Эта линия называется горизонтальной асимптотой графика.

Задача 1.   Оценить  

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решай задачу сам!

При   загар x не существует. (Тема 15 и Тема 18 тригонометрии.)

По мере приближения 90 164 x 90 165 слева, тангенс 90 164 x 90 165 становится больше, чем любое число, которое мы можем назвать. (Определение 4.)

Пределы рациональных функций

Рациональная функция — это частное полиномов (раздел 6 предварительного исчисления). Он будет иметь такой вид:

, где f и g — полиномы ( g 0).

Помимо постоянного члена, каждый член многочлена будет иметь множитель x n ( n ≥ 1). Поэтому исследуем следующие пределы.

c  может быть любой положительной константой. Учащийся должен заполнить каждую правую часть.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала сделай сам!

1)  =   0
 
2а)  =  
  n четный.
 
2б)  =  
  н нечет.
2с)  =   −∞
  н нечет.
  Сравните   y = 1
х
выше, где n = 1.
3)  =  
 
4)  =  
Пример. Докажите:  

  Решение . Разделите числитель и знаменатель на наибольшую степень x .В этом случае разделите их на x 2 :

Согласно приведенному выше пункту 1 предел каждого члена, содержащего x , равен 0. Следовательно, по теоремам темы 2 мы имеем требуемый ответ.

В подобных случаях первый шаг:   Разделите числитель и знаменатель на степень x , которая появляется в старшем члене любого из них.

Проблема 2. = 4

Результат следует после деления числителя и знаменателя на  x .

Задача 3.   =

Другими словами:   Когда числитель и знаменатель имеют одинаковую степень,
, тогда предел, когда x становится бесконечным, равен частному старших коэффициентов.

Задача 4.

Далее рациональная функция обратна приведенной выше:

   = =

Эта задача иллюстрирует:

Когда степень знаменателя больше степени числителя, то есть когда преобладает знаменатель, тогда предел, когда x становится бесконечным, равен 0.Но когда преобладает числитель — когда степень числителя больше — тогда предел, когда x становится бесконечным, составляет .

Изменение переменной

Учитывайте это ограничение:

Вместо того, чтобы приближать переменную к 0, мы иногда предпочитаем, чтобы она стала бесконечной. В этом случае мы делаем замену переменной. Ставим х = или , не важно. Ибо x , приближающееся к 0, эквивалентно тому, что z становятся бесконечными.Затем

При замене x на , мы позволяем z стать бесконечным. Лимит остается 1.

Где это всплывет? В пределе, из которого вычисляем число e :

(Урок 15.)

Задача 5.   В приведенном выше пределе измените переменную на n , и пусть она станет бесконечной.

Следующий урок: Производная

Содержание | Дом


Пожалуйста, сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался онлайн.
Даже 1 доллар поможет.


Copyright © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: [email protected]


lim x → 0 формула ln(1+x)/x

Формула

$\displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{\ln{(1+x)}}{x}}$ $\,=\,$ $1$

Предел отношения натурального логарифма единицы плюс переменная к переменной при приближении входных данных к нулю равен единице.Это называется правилом натурального логарифма.

Введение

Когда вход функции обозначается переменной $x$, натуральный логарифм $1$ плюс $x$ записывается в следующих двух математических формах.

$(1).\,\,\,$ $\log_{e}{(1+x)}$

$(2).\,\,\,$ $\ln{(1+x)}$

Этот тип логарифмических функций появляется в рациональной форме с переменной следующим образом в исчислении.

$\dfrac{\log_{e}{(1+x)}}{x}$

В некоторых случаях мы должны вычислить предел приведенной выше рациональной функции формы, когда вход приближается к нулю.Это математически выражается в следующей математической форме в исчислении.

$\displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{\ln{(1+x)}}{x}}$

На самом деле предел рациональной функции такого типа равен единице, поскольку вход функции стремится к нулю.

$\displaystyle \large \lim_{x \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{\ln{(1+x)}}{x}}$ $\,=\,$ $1$

Этот стандартный результат используется в качестве формулы при работе с логарифмическими функциями в пределах.

Прочие формы

Правило натурального логарифма может быть выражено через любую переменную, но оно должно быть в той же форме. Следовательно, правило логарифмического предела в натуральных логарифмах также может быть записано в следующих формах.

$(1).\,\,\,$ $\displaystyle \large \lim_{m \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{\ln{(1+m)}}{m}} $ $\,=\,$ $1$

$(2).\,\,\,$ $\displaystyle \large \lim_{t \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{\log_{e}{(1+t)}}{ t}}$ $\,=\,$ $1$

$(3).\,\,\,$ $\displaystyle \large \lim_{y \,\to\, 0}{\normalsize \dfrac{\ln{(1+y)}}{y}}$ $\,=\ ,$ $1$

Таким образом, вы можете записать правило натурального логарифма в виде любой переменной.

Доказательство

Узнайте, как доказать правило натурального логарифма в исчислении из основ математики.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.